Implantación de iones

La implantación de iones es un proceso propio de la ingeniería de materiales por el cual los iones de un material pueden ser implantados en otro sólido, cambiando por tanto las propiedades físicas de éste último. La implantación de iones es utilizada en la fabricación de dispositivos semiconductores y en el revestimiento de algunos metales, así como en diversas aplicaciones orientadas a la investigación en ciencia de materiales. Los iones provocan, por una parte cambios químicos en el objetivo, ya que pueden ser de un elemento distinto al que lo compone, y por otra un cambio estructural, puesto que la estructura cristalina del objetivo puede ser dañada o incluso destruida.

Principio general

El equipamiento necesario para la implantación de iones suele consistir en una fuente de iones que produce los iones del elemento deseado, un acelerador donde dichos iones son electrostáticamente acelerados hasta alcanzar una alta energía, y una cámara donde los iones impactan contra el objetivo. Cada ion suele ser un átomo aislado, y de esta manera la cantidad de material que se implanta en el objetivo es en realidad la integral respecto del tiempo de la corriente de ion. Esta cantidad es conocida como dosis. Las corrientes suministradas suelen ser muy pequeñas (microamperios), y por esto la dosis que puede ser implantada en un tiempo razonable es también pequeña. Por todo esto, la implantación de iones encuentra aplicación en los casos en que el cambio químico necesario es reducido.
Las energías típicas de ion se encuentran en el rango de 10 a 500 keV (1.600 a 80.000 aJ). También pueden utilizarse energías entre 1 y 10 keV (160 a 1.600 aJ), pero la penetración de los iones es de apenas unos nanómetros o incluso menos. Energías inferiores resultarían en un daño prácticamente nulo al objetivo, recibiendo el nombre de deposición de haces de iones. Pueden ser utilizadas altas energías mediante aceleradores capaces de elevar la energía de los iones hasta los 5 MeV (800.000 aJ), los cuales son bastante comunes. Sin embargo, esto suele provocar un notable daño estructural al objetivo y además como la profundidad de distribución es importante, el cambio de la composición neta en un punto cualquiera del objetivo será reducido.
La energía de los iones junto con la especie de ion y la composición del objetivo determinan la profundidad de penetración de los iones en el sólido: Un haz de iones monoenergético generalmente tendrá una gran profundidad de distribución. La penetración media recibe el nombre de rango iónico. Bajo circunstancias típicas los rangos oscilan entre los 10 nanómetros y 1 micrómetro. De este modo, la implantación de iones es especialmente útil en los casos en que se busca que el cambio químico o estructural suceda cerca de la superficie del objetivo. Los iones van perdiendo gradualmente su energía a medida que viajan a través del sólido a causa tanto de las colisiones ocasionales con los átomos del objetivo (que suponen abruptas transferencias de energía) como de un suave arrastre provocado por la coincidencia de orbitales electrónicos (un proceso que sucede continuamente). La pérdida de la energía de ion en el objetivo se conoce como parada.

Esquema del proceso de implantación de iones con separador de masas

Aplicación en la fabricación de dispositivos semiconductores

Dopado

La introducción de impurezas en un semiconductor es la aplicación más común de la implantación de iones. Los iones dopantes de boro, fósforo o arsénico entre otros suelen proceder de fuentes gaseosas debido a su gran pureza, si bien estos gases pueden ser muy perjudiciales. Una vez implantados en el semiconductor, cada átomo dopante origina un desplazamiento de carga en el semiconductor (hueco o electrón, dependiendo de si es un dopante tipo P o tipo N), de forma que se modifica la conductividad del semiconductor a su alrededor.

Silicon on Insulator

Un importante método para la preparación de sustratos "Silicon on Insulator" (SOI) a partir de sustratos convencionales de silicio es el proceso SIMOX (Separación por IMplantación de OXígeno), en el cual un implante con una alta dosis de oxígeno en su interior es convertido a óxido de silicio mediante recocido a altas temperaturas.
La fusión de obleas es un método alternativo para la preparación de sustratos SOI. En ese caso se fusionan físicamente un sustrato de silicio oxidado térmica o químicamente con un segundo sustrato, para después retirar parte de este último. De esta forma se consigue una región activa con un grosor específico. Mientras que la eliminación del segundo sustrato suele realizarse mediante técnicas convencionales de rayado o pulido, el método SmartCut desarrollado por SOITEC utiliza la implantación de iones para determinar el grosor del sustrato remanente.

Mesotaxia

El término mesotaxia se refiere al crecimiento de una fase de igual estructura cristalina bajo la superficie del cristal semiconductor (compárese con epitaxia, donde dicha fase aparece en la superficie). En este proceso, los iones son implantados a una alta energía y dosis para poder crear una capa de una segunda fase, además de ser necesario controlar la temperatura para evitar que la estructura cristalina del objetivo se destruya. La orientación de la capa puede ser manipulada hasta conseguir que coincida con la del objetivo, aunque la estructura exacta y el parámetro de red sean muy diferentes. Por ejemplo, tras la implantación de iones de níquel en una oblea de silicio se obtiene una capa de siliciuro de níquel que crece siguiendo la orientación del silicio de la oblea.

Aplicación en revestimientos para metales

Refuerzo de herramientas de acero

Es posible implantar iones de nitrógeno u otros en herramientas de acero tales como brocas de taladros. El cambio estructural causado por la implantación produce una compresión de superficie en el acero, protegiéndolo de la propagación de roturas y haciéndolo más resistente ante éstas. El cambio químico, por su parte, puede hacer que la herramienta sea más resistente a la corrosión.

Revestimiento de superficies

En ciertas aplicaciones, como por ejemplo dispositivos protésicos tales como juntas artificiales, se busca que las superficies sean muy resistentes tanto a la corrosión química como a la fricción. La implantación de iones es empleada en estos casos para manipular las superficies de dichos dispositivos para conseguir una mayor fiabilidad.

Algunos problemas de la implantación de iones

Daño cristalográfico

Cada ion individualmente produce muchos defectos puntuales en el cristal objeto del impacto como son las vacantes y los intersticiales. Las vacantes son puntos de la red cristalina que no están ocupados por ningún átomo: en este caso el ion colisiona con el átomo del objetivo, resultando una importante transferencia de energía que obliga a este último a abandonar su posición en la estructura. Este átomo del sólido se convierte así en un proyectil que lo atraviesa, pudiendo provocar sucesivas colisiones. Los intersticiales aparecen cuando algunos átomos (o el propio ion original) llegan al sólido y no encuentran huecos vacantes en la red. Estos defectos puntuales pueden moverse y aglomerarse, resultando en bucles de dislocación y otros defectos.

Recuperación de los daños

Como los daños causados por la implantación de iones a la estructura cristalina no suelen ser deseados, al proceso de implantación de iones le sigue a menudo un recocido térmico. Este proceso puede se interpretado como una recuperación de los daños sufridos.

Amorfización

El daño causado a la estructura cristalina puede llegar a ser lo suficientemente elevado como para volver totalmente amorfa la superficie del objetivo: por ejemplo, puede convertirse en un sólido amorfo (los sólidos fruto de una fusión reciben el nombre de vidrio). En algunos casos, es preferible la amorfización completa del objetivo a un cristal con muchos defectos: una película amorfa puede ser reconstruida a temperaturas más bajas que las necesarias para recocer un cristal altamente dañado.

Pulverización catódica

Algunas de las colisiones pueden hacer que los átomos del objetivo salgan despedidos de la superficie sufriendo lo que se conoce como pulverización catódica, de modo que la implementación de iones irá creando un surco en ella. Este efecto solamente es apreciado para dosis muy altas.

Formación de canales

Si hay una estructura cristalográfica en el objetivo, y especialmente en los sustratos semiconductores donde la red cristalina está más abierta, las direcciones cristalográficas particulares ofrecen mucha menor parada que el resto de direcciones. El resultado es que el rango de un ión puede ser mucho mayor si éste viaja exactamente en una de esas direcciones concretas, por ejemplo la <110> en el silicio y otros materiales de estructura diamante cúbico. Este efecto es conocido como formación de canales de iones y como efecto de formación de canales que es, es altamente no lineal y con pequeñas variaciones respecto de la orientación perfecta, lo que resulta en diferencias extremas en la profundidad de implantación. Por este motivo, gran parte de la implantación se ejecuta unos pocos grados desplazada respecto del eje, ya que errores de alineación mínimos tienen efectos más predecibles. No existe relación alguna entre este efecto y los canales iónicos de las membranas celulares.
La formación de canales de iones puede ser directamente utilizada en la espectroscopía Rutherford de retrodispersión y otras técnicas relacionadas como método analítico para determinar la cantidad y profundida del daño causado en materiales con finas películas cristalinas.

Observaciones acerca de materiales peligrosos

En la implantación de iones que se lleva a cabo en el proceso de fabricación de obleas, es importante minimizar la exposición de los trabajadores a los materiales tóxicos empleados durante el proceso. Entre estos tóxicos destacan la arsina y la fosfina. Por esta razón, las instalaciones de fabricación de semiconductores están altamente automatizadas, debiendo contar con sistemas de liberación segura de botellas de gas a presión negativa. Otros elementos a tener en cuenta son el antimonio, el arsénico, el fósforo y el boro. Los residuos generados son liberados si se abren las máquinas a presión atmosférica, de modo que es necesario contar con bombas de vacío que los recojan. Es primordial no resultan expuesto a estos elementos carcinógenos, corrosivos, inflamables y tóxicos.

Alta tensión

La existencia de fuentes de alta tensión en este tipo de instalaciones puede suponer un importante riesgo de electrocución. Además, las colisiones atómicas de alta energía pueden generar en algunos casos radioisótopos. Los operadores y el personal de mantenimiento deben conocer y observar todos los consejos de seguridad del fabricante y/o empresa encargada del equipo. Antes de entrar en una zona de alta tensión, los componentes terminales deben ser conectados a tierra con las herramientas adecuadas. Posteriormente deben apagarse y bloquearse las fuentes de tensión para evitar descargas inesperadas.




Aderlis S Marquez G

Electronica del estado solido

http://es.wikipedia.org/wiki/Implantaci%C3%B3n_de_iones

Semiconductor carrier mobility

Mobility is a measure of how easily a carrier moves in a particular material. It is often represented as μ, and is defined as the ratio of carrier velocity in the field direction (drift velocity, v_d) to the magnitude of the electric field, ζ:

Mobility is normally expressed in centimeters squared per volt-second ((cm²)/(V∙s)).
In semiconductor, carrier mobility applies to both electrons and holes. The electron and hole mobilizes are dependent on the impurity concentrations of donors and acceptors, on temperature, and on whether the carriers are minority or majority carriers. (Majority carriers are electrons in n-type material and holes in p-type materials.) Besides, drift velocity and thus carrier mobility is influenced by carrier scattering and the electric field.

Doping concentration dependence

The charge carriers in semiconductors are electrons and holes. Their numbers are controlled by the concentrations of impurity
elements, i.e. doping concentration. Thus doping concentration has great influence on carrier mobility.
While there is considerable scatter in
the experimental data, for noncompensated material (no counter doping), the mobility in silicon is often characterized by the empirical formula:

where N is the doping concentration (either N_D or N_A), and N_ref and α are fitting parameters. At room temperature, the above equat
ion becomes: Majority carriers:

Minority carriers :

These equations apply only to silicon, and only under low field.

Relationship between carrier scattering and mobility

Recall that by definition, mobility is dependent on the drift velocity. The carrier drift velocity is influenced by scattering events, i.e., change in
direction and/or energy of a carrier by collision with a particle, such as an ionized impurity atom or a phonon.
Ionized impurity scattering： The impurities (donors and acceptors) are typically ionized, and are thus charged. The Coulombic forces will deflect an electron or hole approaching the ionized impurity. This is known as ionized impurity scattering. The amount of deflection depends on the speed of the carrier and its proximity to the ion. The more heavily a material is doped, the higher the probability that a carrier will collide with an ion in a given time, and the smaller will the mean free time between collisions, a
nd the smaller the mobility.
Lattice (phonon) scattering： At any temperature the vibrating atoms create pressure (acoustic) waves in the crystal, which are termed phonons. Like electrons, phonons can be considered to be particles. A phonon can collide with an electron (or hole) and sc
atter it. The energy distribution of phonons and the concentration of phonons at a given energy depend on the amplitude of the pressure wave, and thus on temperature. With increasing temperature, the stronger lattice vibrations cause an increase in the concentration of phonons and thus increased scattering or reduced mobility.
Influence of scattering on carrier mobility:
Consider the force on an electron due to the electric field:

Rearranging,

Integrating both sides,

where t_o is the time of the previous
collision (scattering event). This gives us the velocity reached by a particular electron just before its next collision at time t. If we consider a large number of collisions and take the average,

We define the drift velocity of electron as , which is the velocity gained after the previous collision. Also de
fine , the mean time between collisions. Thus,

From definition of μ_n, i.e. (v_dn = − μ_nζ) and the above expression, electron mobility can be expressed as:

Similarly, hole mobility can be expressed as:

Carrier mobility for any given scattering mechanism depends on the carrier effective mass and on the scattering time associated with that scattering mechanism. The scattering time is dependent on the frequency of carrier collisions with other "particle". The scattering times for carrier-ion and for carrier-phonon collisions are independent, by Matthiessen's rule,

where the substricpts i and l refer to ionized impurity and lattice (phonon) scattering respectively.

Temperature dependence

With increasing temperature, phonon concentration increases and causes increased scattering. Thus the carrier mob
ility due to lattice scattering decreases. Theoretical calculations reveal that the mobility in non-polar semiconductors, such as silicon and germanium, is dominated by acoustic phonon interaction. The resulting mobility is expected to be proportional to T^-3/2, while the mobility due to optical phonon scattering only is expected to be proportional to T^-1/2. Experimentally, values of the temperature dependence of the mobility in Si, Ge and GaAs are listed in Table 1.
The effect of ionized impurity scattering, however, decreases with increasing temperature because the average thermal speed
s of the carriers are increase. Thus,
the carriers spend less time near an ionized impurity as they pass and the scattering effect of the ions is thus reduced. In another word, the mobility due to ionized impurity scattering increases with increasing temperature.
These two effects operate simultaneously on the carriers. At lower temperatures, ionized impurity scattering dominates, while at higher temperatures, phonon scattering dominates.

High-field effects

At low fields, the drift velocity v_d is proportional to ξ, so mobility μ is constant. This value of μ is called the low-field mobility.
As the field is increased, the mean free time between collisions decreases with increasing ξ, resulting in reduced mobility. As a result, v_d increases sub-linearly and appears to approach a limiting velocity v_sat. The value of v_sat is on the order of 1×10⁷ cm/s for both electrons and holes in Si. It is on the order of 6×10⁶ cm/s for Ge.
This velocity saturation results from a process called optical phonon scattering. At high fields, carriers are accelerated enough to gain sufficient kinetic energy between collisions that, when they collide with the lattice, they can impart enough energy to create an optical phonon. The probability that a carrier having such high energy will create a phonon is quite high, and thus the maximum carrier velocity is limited by the relation:

where E_phonon(opt.) is the optical phonon energy and m* is the carrier effective mass in the direction of ξ. The value of E_{phonon (opt.)} is 0.063 eV for Si and 0.034 eV for GaAs and Ge.
For more highly doped semiconductors, the scattering time is reduced, with a corresponding reduction in the low-field mobility and the saturation velocity. Because of the dependence of on impurity concentration and temperature, v_max also depends on these parameters.

Measurement of mobility (Hall mobility)

Carrier mobility is most commonly measured through Hall mobilities, making use of Hall Effect.
Consider a semiconductor sample with a rectangular cross section as shown in the figures, a current is flowing in the x-direction and a magnetic field is applied in the z-direction. The resulted Lorenz's force will accelerates the electrons (n-type materials) or holes (p-type materials) in the (−y) direction, according to the left hand rule and set up an electric field ξ_y. As a result there is a voltage across the sample, which can be measured with a high-impedance voltmeter. This voltage, V_H, is called the Hall voltage. V_H is positive for n-type material and negative for p-type material.
Mathematically, the Lorentz force acting on a charge Q is given by
For electrons:

For holes:

In steady state this force is balanced by the force set up by the Hall voltage, so that there is no net force on the carriers in the y direction. For electron,

For electron, the field points in the +y direction, and for holes, it points in the −y direction.
The electron current I is given by I = − qnv_xtW. Sub v_x into the expression for ξ_y,

where R_Hn is the Hall coefficient for electron, and is defined as

Since

Similarly, for holes

From Hall coefficient, we can obtain the carrier mobility as follows:

Similarly,

where the value of V_Hp, W, I, B can be measured directly, and n or p is either known or can be obtained from measuring the resistivity.

Aderlis S Marquez G

Electronica del Estado Solido

http://en.wikipedia.org/wiki/Semiconductor_carrier_mobility

Equilibrium vs. Excess carriers in semiconductors

(1) Equilibrium vs. Excess carriers in semiconductors
At thermal equilibrium, a piece of Si doped with 10¹⁷/cm³ As atoms  (As atoms are donor impurities in Si) has the equilibrium concentrations at 300K, of electrons and holes, respectively, of

•  n₀ = 10¹⁷/cm³ = 100,000,000,000,000,000/cm³ for electrons  [majority carriers]
•  p₀ = n_i²/n₀ = (10¹⁰/cm³)²/10¹⁷cm³ = 1,000/cm³ for holes.  [minority carriers]

Application of an external stimulus to a semiconductor, such as a beam of laser light with an above-bandgap photon energy or a bias voltage across a pn junction, creates excess carriers.  The generated access carriers get to 'live' for a finite length of time, which on the average is called the excess carrier lifetime, until they recombine with an opposite-type carrier to their mutual annihilation.  For example, suppose that the pice of Si doped with 10¹⁷/cm³ As donor atoms is uniformly excited optically at room temperature such that 10¹⁹/cm³ electron-hole pairs are generated per second with the excess carrier lifetime of t_n = t_p = 10^-4 s.  Then there will be an excess carrier concentration of dn = 10¹⁷/cm³ * 10^-4 s = 10¹⁵/cm³ = dp.  The total concentration will then be

•  n = n₀ + dn = 10¹⁷ + 10¹⁵ » 10¹⁷ = n₀  for electrons.     [majority carriers]
•  p = p₀  + dp = 10³ + 10¹⁵ » 10¹⁵ = dp for holes.            [minority carriers]

This shows that the concentration of  minority carriers is dominated by the excess carriers; while the concentration of majority carriers  is little affected by the excess carriers.  [This condition is called a low-level injection condition.]
In this applet, we shall focus on the processes of excess minority carriers  (i.e., electrons in p-type Ge; and holes in the n-type Ge).
Note that the transport of  excess minority carriers under the influence of the externally applied bias voltage is responsible for the physical operation of such minority-carrier devices as the pn junction diode and  the bipolar junction transistor.  [In contrast, the metal-semiconductor Schottky diodes and the Field Effect Transistors are majority-carrier devices.]
 
(2) Excess Carrier Processes
The excess carriers go through recombination, diffusion and drift.
i) Recombination
Semiconductor with excess carriers is in non-equilibrium.  Unless the external stimulus, responsible for creating the excess carriers, is present, the semiconductor will 'try' to return to thermal equilibrium state by removing the excess carriers.   The removal process of excess carriers is carrier Recombination, in which a carrier recombines with an opposite-type carrier to their mutual annihilation.  Each excess carrier gets to survive an average of t seconds, the excess carrier lifetime, before the electron-hole recombination takes place.
If the external stimulus, which generated the uniform excess electron concentration Dn  in the semiconductor was shut off at t=0, then the total concentration of electrons at time t will be

 n = n₀ + Dn  exp(-t/t_n)

This recombination process exists in semiconductor whether the external stimulus exists or not.  In steady state, the rate of excess carrier generation by the external stimulus is exactly matched by the rate of the excess carrier recombination.  In thermal equilibrium, the rate of thermal generation of carriers is exactly matched by the rate of carrier recombination.
In this applet, we shall visually observe that the number of excess minority carriers decay in time after the laser light is turned off.
ii) Drift
Charge carriers (or charged particles) is transported in space by an electric field produced by an externally applied voltage bias.  The net displacement per unit time is proportional to the strength of externally applied electric field: Dx/Dt = mE,  where m is a proportional constant (called mobility) and E is the electric field strength.  Therefore, the position of the charge carrier at time t is

 x = x₀ + mEt.

iii) Diffusion
Any  spatial nonuniformity in the carrier concentration will cause displacement of the charge carreirs over time.  A net displacement of charge carriers occurs from a region of higher concentration to a region of lower concentration via a process called 'diffusion'.  The rate of such a spatial displacement of charge carriers is proportional to how steep the concentration nonuniformity is, i.e., the gradient of concentration profile.  The diffusion flux f(x), defined as the number of carriers crossing a unit cross-sectional area per unit time, is given by

f_n(x) = - D_n dn(x)/dx
f_p(x) = - D_p dp(x)/dx

(3) Some Useful Semiconductor Equations
i) Diffusion and Recombination => Continuity Equation
In one dimension, the continuity equation for excess electrons, dn, and excess holes, dp, are

 ddn/dt = D_n d²dn/dx² – dn/t_n
 ddp/dt = D_p d²dp/dx² – dp/t_n

These equations says that the number of carriers increased at x per unit time, ddn/dt, is equal to the number of carriers that 'emergies' at x per unit time, D_n d²dn/dx², less the number that recombines per unit time, dn/t_n.
ii) Drift and Diffusion => Current Density Formula
The drift and diffusion processes actually displace charge carriers in space, and thus are responsible for the current.  The current density, i.e., the current per unit cross-sectional area, is given by

 J_n(x) = q m_nnE + qD_n dn(x)/dx
 J_p(x) = q m_ppE – qD_p dp(x)/dx

The first term on the right hand side of erquation is the drift current density; and the second term is the diffusion current density. For electrons, for example, J_drift = q m_nnE and J_diffusion = qD_ndn(x)/dx.
 
Aderlis S. Marquez G
Electronica del Estado Solido
http://jas.eng.buffalo.edu/education/semicon/diffusion/intro.html

Einstein Relationships

The Einstein relationship is a relationship between the diffusion coefficients (D_P and D_N) and the mobilities of the carriers (m_N and m_P). Pierret then mentions three facts to which I will add an additional one:

1. Under equilibrium conditions, the Fermi level inside a material (or inside a group of materials in intimate contact) is invariant as a function of position; that is . This fact is obvious once the concept of the Fermi level is understood as the level where electron states with energies below this level are predominantly filled and electron states with energies above this level are mostly empty (analogous to a lake of water where the top of the water is the Fermi level, most of the water is below the surface Fermi level of the lake in its low energy available states).
2. Fact number 2 states what we found in chapter 4 that as one dopes a semiconductor more and more n-type, the Fermi level departs from the intrinsic Fermi level and approaches the conduction band. Similarly, as one dopes a semiconductor more and more p-type, the Fermi level moves towards the valence band.
3. One third fact I will insert is fact that an applied electric field causes a bending in the valence and conduction band and hence the intrinsic Fermi level according to the following equation:
   
    
   
   See chapter 4.3.2 for a detailed explanation of this but it is fairly obvious. From electromagnetism, the electric field is equal to the negative gradient of the potential and the potential is proportional to the potential energy. Hence:
   
    
   
   Figure 6.14 of Pierret is a good example of band bending as a result of a nonuniformly doped semiconductor:
   
   
   
    

These facts being stated, we can continue. Under equilibrium conditions, the current density is zero. Hence:

Using information from fact #3 above, and for nondegenerate semiconductors we have:

Using this result in the equation for J_N, we have:

Similarly for J_P, we find:

These two relations between the diffusion coefficients and the mobility for electrons and holes are called Einstein relationships. These will prove useful.

Equations of State

Collecting the results from the first two sections, we have that the total current is a sum of the conduction band electrons and valence band holes: J = J_N + J_P where:

These last two equations can be cast into a simpler form by the introduction of the concept of quasi-Fermi levels F_N and F_P for electrons and holes respectively. Pierret states that these energy levels are by definition related to the nonequilibrium carrier concentration in the same way E_F is related to the equilibrium carrier concentration. Stated mathematically, this is:

In general F_N and F_P will be two distinct values that will tend back to E_F as the semiconductor goes back to equilibrium. It can be shown by differentiating p and n above to get and, substituting this in for J_P and J_N and using the Einstein relationships that:

These equations are extremely useful for analysis of energy bands and current transport in electronic devices.

Continuity Equations

The charge continuity equations will now be studied, first in general and then applied to minority carriers under low level injection and low electric fields. Continuity equations are used throughout physics and engineering and relate the time dependence of some concentration to other functional relationships of the concentration. For instance, concentration of mass can be written as the time dependence of mass density which can be shown to be:

where is the mass current where v is the velocity of the mass particles. A good description of this concept, the derivation and proof is given in Vector Calculus by Jerrold E. Marsden pg. 544-545:

The same type of continuity equation can be applied to charge carriers with the realization that charge concentration can increase or decrease because of other mechanisms besides carrier transport, namely recombination and generation. Hence we can write:

where the divergence of the electron and hole current account for the drift and diffusion current contribution to rate of change in time of the charge concentration, the terms r_N and r_P are the electron and hole recombination rates respectively and the terms g_N and g_P are other electron and hole generation processes respectively (such as photoexcitation, ....). These are the general rate equations that will be used in quite often in device analysis. Let us apply these equation to a simplified situation of minority carrier diffusion.

Minority Carrier Diffusion Equations

Let us make the following assumptions:

1. The system is one-dimensional.
2. The analysis is restricted to only minority carriers.
3. The electric field is negligible.
4. The equilibrium carrier concentrations are not a function of position.
5. Low level injection conditions are held throughout the system.
6. No other recombination or generation processes except for photoexcitation.

Under these conditions, we have:

g_N = G_L

where G_L is the number of electron-hole pairs generated per sec-cm³ by the absorption of externally introduced photons. If the semiconductor is not subjected to illumination, then G_L = 0. Using these simplifications, we obtain the minority carrier diffusion equations:

where the subscripts have been added as Pierret does to denote the fact that these are minority carrier concentrations.

Aderlis S. Marquez G.
Electronica del Estado Solido
http://www-ee.ccny.cuny.edu/www/web/crouse/EE339/Lectures/Carrier_Transport.htm